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数学自身的发展：推理思维

从现实进入数学需要抽象思维，而在数学内部的发展则以推理为基础。

例如详情页设计：

用0-9的数字和十进制，推导出所有数的表示用0-9的加法，推导出所有整数的加法、减法、乘法和除法四则运算

要学好数学，我们需要以推理思维学习知识。

本质上有两种形式的推理方式：

归纳推理演绎推理

1）归纳推理

归纳推理，是从特殊到一般的推理，结论是或然（可能）成立的。

归纳推理包括不完全归纳法、类比法、简单枚举法、数据分析等。人们借助归纳推理，从经验过的东西出发，推断未曾经验过的东西。

运用归纳推理，数学的结果是「看」出来的，而不是「证」出来的，虽然「看」出的数学结果不一定正确，但指引了数学研究的方向。

在小学数学中，不完全归纳、类比法、简单枚举等都经常用到。

关于统计分析，我们在前面文章「小学数学学什么？如何学好数学 (5) 统计与概率」已经分享了。

2）演绎推理

演绎推理是从一般到特殊的推理，通过演绎推理得到的结论是必然成立的。

演绎推理包括：三段论、反证法、数学归纳法、算法逻辑等。人们借助演绎推理按照假设前提和规定的法则，验证那些通过归纳推理得到的结论。这便是数学的「证明」。

通过证明能够验证结论的正确性，但不能使命题的内涵得到扩张。也就是说，演绎推理能保证论述的结论与论述的前提意义可靠，但不能添加新的东西。

演绎推理对娃的思维和学习能力发展也至关重要。基于演绎推理，我们可以帮助娃从几个基本概念、原理出发，快速推导建立一整套小学数学知识体系，非常高效。学习起来轻松有趣。

然而小学阶段的数学教育更加注重形象化和归纳推理，对演绎推理涉及的比较少，所以我们家长要适当补充。

归纳和演绎推理相辅相成，我们常常用归纳推理发现新的现象、结论，用演绎推理进行证明，并应用新的结论解决具体问题。

例如，同分母分数的加法。

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教材中，通过图示观察，小朋友们出结论：

相同分母的分数相加，分母不变，分子相加。

这其实用的是不完全归纳法。通过一个特殊案例得到一个一般性结论。

那如何用演绎推理进行证明呢？

这里其实是要证明b/a+c/a=(b+c)/a。

b/a是b个以1/a为单位的分数，c/a是c个以1/a为单位的分数，那么，b/a+c/a就是b+c个以1/a为单位的分数，就是(b+c)/a。

这样，我们就可以把这个通过演绎推理证明的普遍结论，应用于同分母分数加法的解题。

归纳与演绎

谈到归纳与演绎，就要谈到亚里士多德。

亚里士多德在历史上，首创了形式逻辑的理论。形式逻辑指的是传统逻辑，狭义指演绎逻辑，广义还包括归纳逻辑。

所谓归纳，是从特殊到普遍；而演绎，是从普遍到特殊。

画册设计

比如:

苏格拉底是人，苏格拉底死了，柏拉图是人，柏拉图死了，所以是人都会死。

这是归纳，从个别到普遍。

凡人都有死，苏格拉底是人，所以苏格拉底会死。

这是演绎。

在演绎逻辑方面，亚里士多德提出了著名的「三段论」。

所谓三段论详情页设计，是由一个共同概念联系着的两个前提推出结论的演绎推理，由大前提、小前提和结论三部分组成。

大前提：已知的一般原理或一般性假设小前提：关于所研究的特殊场合或个别事实的判断，小前提应与大前提有关结论：从大前提推出的，对于特殊场合或个别事实作出的新判断

三段论的基本结构为：规则(若A则B) →案例 (A) →结果 (B)。

例如「凡人都有死，苏格拉底是人，所以苏格拉底会死」，就是个典型的三段论。

大前提：凡人都有死小前提：苏格拉底是人结论：苏格拉底会死

再举个例子：

大前提：男人没一个好东西小前提：A是个男人结论：A不是个好东西

从逻辑推理的角度，归纳法有一个问题。就是从特殊到普遍，推理出的结论很难说是严谨的，因为有遗漏的可能。

比如看见两个男人不是好东西（先假设这个成立），是不是所有男人都不是好东西呢？哪怕看到一百个、一千个男人，还是跟所有男人这个池子差得太远。

在这方面，最著名的一个案例，大概就是「黑天鹅」。

在大航海时代之前，欧洲人一致认为，天鹅都是白的。因为见过了那么多天鹅，深圳抖店全职美工都是白色的呀。

后来在澳洲，发现了黑天鹅，这个观点就被推翻了。

归纳这种「从个体到普遍得出结论」，逻辑推理上难以严谨。哪怕你看了一万只天鹅都是白的，做出「所有天鹅都是白的」这个逻辑本身是有问题的，尽管现实当中很多时候可以直接当结论用。

而演绎法则是相反，从普遍到一般。那么，用三段论为例，如果大前提、小前提靠谱，那结论就是靠谱的。

至少从逻辑上，大前提、小前提到结论，这个推理过程是严谨的。至于大前提、小前提本身是不是靠谱，那是另外的问题了。

比如「所有天鹅都是白的，它是天鹅，所以它是白的」。

如果大前提「所有天鹅都是白的」、小前提「它是天鹅」成立，那么可以严谨地推出结论「它是白的」成立。

鉴于归纳逻辑自身推理链条的难以严谨，如果我们要得出逻辑形式上无懈可击的推理，那就更多的需要考虑演绎逻辑。

其实我们日常生活中，都会不自觉得应用归纳和演绎逻辑。

就像一个人，可能一开始是「因为A男人不是好东西，B男人不是好东西，所以天下男人都不是好东西」，从她的经验开始归纳，得出结论。

结论之后，就开始演绎，「天下男人都不是好东西，你是男人，所以你不是好东西」。

如果她坚信「天下男人都不是好东西」，那可能人生问题就大了 

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！

这个逻辑放到学校教育上，就是诸如：

大前提：成绩好就要多做题小前提：你成绩不好结论：你要多做更多的题

如果放到销售上，就是诸如：

大前提：销售要坚持说服客户直到打动他们小前提：客户不买单结论：我要继续坚持打动客户

从逻辑形式来说，这些大前提、小前提到结论的推导，都是符合演绎逻辑规律的。问题是，往往这里面大前提就不靠谱。

这些大前提，是基本的指导人的思考、行动的出发点。如果大前提不靠谱，意味着他们可能各种思维、行为都有问题。

大多数人，根本就没有意识到自己的「大前提」是什么，更不会有意识地去校验。

从本源开始建构演绎逻辑体系

在前面我们看到，如果一个人演绎推理的大前提是错误的，那么接下来可能一啪啦推理、结论都成问题。

所谓一步错，步步错。

因此，在思维层面，尽量确保我们大前提的有效，非常重要。

那如何做到这一点呢？这就需要回归事物的本源（溯本），也就是亚里士多德说的「第一性原理」。

亚里士多德说：

在任何一个系统中，存在第一性原理，是最基本的命题或假设，不能被省略，也不能被违反。

亚里士多德认为，需要从这些最基本的命题、假设出发，开始建构起思维体系，他提出了「公理和公设」的概念。

他把公理和公设加以区别，认为公理是一切科学所公有的真理，而公设则只是为某一门科学接受的第一性原理。

他把逻辑原理（诸如矛盾律、排中律、等量加减等量后结果相等的公理以及其他这类原理）都列为公理。公设也是不言自明的，但其是否属真应受所推出结果的检验。

这样一来，我们在领域的理论体系，应该从公理和公设出发，一层一层地进行演绎推理，产生新的结论、知识。

这种从本源出发建立的演绎逻辑体系，落实到小学数学学习，体现为三个方面：

1）从学科发展层面：理解数学学科发展演化脉络

2）从学科知识层面：把握小学数学6层核心知识

3）从学科学习层面：以推理的方式理解和掌握数学知识。例如，从0-9的数和加法（作为第一性原理的起点）详情页设计，推演出小学算术知识体系脉络

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